Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = 4{x^3} – 6{x^2} + 1\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\).
4. \(y = - 1\).
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1; – 1; – 1} \right)\) và \(B\left( {2;3;2} \right).\) Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có tọa độ là
2. \(\left( { - 1;4;3} \right)\).
Cho \(x,\,y\) là hai số thực dương khác \(1\) và \(m,\,n\) là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây sai?
1. \({\left( {xy} \right)^n} = {x^n}.{y^n}\).
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 4x\) là
3. \(2{x^2} + C\).
Hình đa diện dưới đây có bao nhiêu cạnh?
1. \(19\).
Cho \(a > 1\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
3. \({a^{ - \sqrt 3 }} > \frac{1}{{{a^{\sqrt 5 }}}}\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({2^{x – 2}} > 8\)
1. \(\left( { - \infty ;\,5} \right)\).
Cho hàm số \(y = \frac{{3x + 1}}{{{x^2} – 2}}\). Đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
3. \(1\).
Cho khối chóp có diện tích mặt đáy là\(B\) và chiều cao là \(h\). Tính thể tích của khối chóp đã cho.
1. \(Bh\).
Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x – 2}}\)
4. \(y = 2\).
Nghiệm của phương trình \({3^{{x^2} – 3x + 4}} = 9\) là
1. \(x = 1\); \(x = 3\).
Hàm số \(y = {e^{3x + 1}}\) có đạo hàm là
3. \(\left( {3x + 1} \right){e^{3x + 1}}\).
Cho mặt cầu có bán kính \(R = a\sqrt 5 .\) Diện tích của mặt cầu đó bằng bao nhiêu?
1. \(5\sqrt 5 \pi {a^2}\).
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} – m{x^2} + \left( {{m^2} – 4} \right)x + 3\) đạt cực đại tại điểm \(x = 3\).
3. \(m = 1,m = 5\).
Cho hình trụ có bán kính đáy \(r = 5cm,\) chiều cao \(h = 7cm.\) Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là
4. \(\frac{{70}}{3}\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
Cho \(b\) là sood thực dương khác \(1\). Tính \(P = {\log _b}\left( {{b^2}.{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\).
4. \(P = \frac{1}{4}\).
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x + {2^x}\) là
2. \( - \sin x + {2^x}\ln 2 + C\).
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;1;0} \right),B\left( {1;2; – 1} \right),C\left( {0;1;1} \right)\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).
2. \({60^0}\).
Một lớp có 40 học sinh, trong đó có 25 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều nhất một học sinh nam?
4. 455.
Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{x + c}}\) có đồ thị như hình bên dưới. Tính giá trị của biểu thức \(T = a + 2b + 3c.\)
1. \(T = - 8\).
Tìm tập xác định của hàm số \(y = {x^{\sqrt 7 }}\).
4. \(\mathbb{R}\).
Cho hàm số \(y = f(x)\)có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây?
2. \(x = 0\).
Cho hàm số \(y = f(x)\)có bảng biến thiên như sau
Hàm số \(y = f(x)\)nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
3. \(( - \infty ;0)\).
Cho mặt cầu có thể tích bằng \(32\sqrt 3 \pi {a^3}\). Tính diện tích \(S\)của mặt cầu đã cho.
2. \(S = 24\pi {a^2}\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 2\) và công sai \(d = 3\). Tìm \({u_2}\)
1. \(5\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^4} – 2{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng bao nhiêu?
1. \(2\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(SA = a\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng bao nhiêu?
2. \(a\sqrt 2 \).
Cho hình trụ có bán kính đường tròn đáy \(r = 2\). Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có diện tích bằng \(8\sqrt 3 \). Tính thể tích \(V\) của khối trụ đã cho.
3. \(V = 2\sqrt 3 \pi \).
Khối tứ diện đều có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng
1. \(6\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {13 – 3x} \right) \geqslant 2\) là
2. \(S = \left( { - \infty ;3} \right]\).
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số \(y = f\left( {2x + 1} \right) – 4{x^3} + 9{x^2} – 6x\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
4. \(\left( {\frac{1}{2}\,;\,1} \right)\).
Gọi \(S\)là tập nghiệm của phương trình \({2^{{x^2} – x}} + {2^{{x^2} – x – 2}} = {4^{{x^2} – x – 1}} + 1\). Tìm số phần tử của tập hợp \(S\).
1. \(4\).
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\)thuộc khoảng \(\left( { – 1000\,;\,1000} \right)\) để phương trình\({\left( {\sqrt {10} + 1} \right)^{{x^2}}} + m{\left( {\sqrt {10} – 1} \right)^{{x^2}}} = {2.3^{{x^2} + 1}}\) có đúng hai nghiệm phân biệt?
3. \(1007\).
Từ bảng biến thiên suy ra \(\left[ \begin{gathered} m < 5 \hfill \\ m = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.\) là các giá trị thoả mãn yêu cầu bài toán.Do \(\left\{ \begin{gathered} m \in \left( { - 1000\,;\,1000} \right) \hfill \\ m \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered} \right.\) nên có \(1005\) giá trị của \(m\) tìm được.Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f(1) = 2\) và \({\left( {{x^2} + 1} \right)^2}f'(x) = {[f(x)]^2}\left( {{x^2} – 1} \right)\) với mọi \(x \in (0; + \infty )\). Tính giá trị \(f(3)\).
3. \(4\).
Cho hàm số bậc bốn \(y = f(x)\). Hàm số \(y = {f^\prime }(x)\) có đồ thị như hình vẽ. Đặt hàm số \(g(x) = f(x) – {x^2} – x\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
4. \(g\left( 1 \right) > g\left( 2 \right)\).
Do đó: \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = – 1 \hfill \\ x = 1 \hfill \\ x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\). Ta có bảng biến thiên:
Từ BBT suy ra \(g\left( 1 \right) > g\left( 2 \right)\).Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(( – 2023;2023)\) để hàm số\(y = {x^4} – 2m{x^2} – 3m + 1\) đồng biến trên khoàng \((1;2)\)?
4. \(2024\).
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), có đáy là tam giác đều và thể tích bằng \(V\). Gọi \(E,\,\,F,\,\,I\) là các điểm lần lượt di động trên các cạnh \(AB,\,\,BC,\,\,CA\) sao cho \(AE = BF = CI\). Thể tích khối chóp \(A'.EFI\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng
4. \(\frac{V}{4}\).
Tam giác \(ABC\) đều và \(AE = BF = CI\) nên \(\Delta AEI = \Delta BFE = \Delta CIF\) suy ra \({S_{\Delta AEI}} = {S_{\Delta BEF}} = {S_{\Delta CFI}}\).Ta có: \(\frac{{{V_{A'.EFI}}}}{V} = \frac{1}{3}.\frac{{{S_{\Delta EFI}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}}\).Gọi cạnh của tam giác \(ABC\) là \(a\) \(\left( {a > 0} \right)\), \(AE = BF = CI = x\,\,\left( {0 \leqslant x \leqslant a} \right)\).Khi đó: \(\frac{{{S_{\Delta AEI}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{AE}}{{AB}}.\frac{{AI}}{{AC}} = \frac{{x\left( {a – x} \right)}}{{{a^2}}}\) \( \Leftrightarrow {S_{\Delta AEI}} = \frac{{x\left( {a – x} \right)}}{{{a^2}}}.{S_{\Delta ABC}}\).Suy ra: \({S_{\Delta EFI}} = {S_{\Delta ABC}} – 3.{S_{\Delta AEI}} = \frac{{{a^2} – 3ax + 3{x^2}}}{{{a^2}}}.{S_{\Delta ABC}} \Leftrightarrow \frac{{{S_{\Delta EFI}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{{{a^2} – 3ax + 3{x^2}}}{{{a^2}}}\)Vậy \(\frac{{{V_{A'.EFI}}}}{V} = \frac{1}{3}.\frac{{{S_{\Delta EFI}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2} – 3ax + 3{x^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow {V_{A'.EFI}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2} – 3ax + 3{x^2}}}{{{a^2}}}.V\).\({V_{A'.EFI}}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi biểu thức \({a^2} – 3ax + 3{x^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất trên \(\left[ {0;a} \right]\)Ta có: \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;a} \right]} \left( {{a^2} – 3ax + 3{x^2}} \right) = \frac{{{a^2}}}{4}\) khi \(x = \frac{a}{2}\).Vậy giá trị nhỏ nhất của \({V_{A'.EFI}}\) là \(\frac{V}{{12}}\).Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong có dạng như hình vẽ sau
Phương trình \(f\left( {f\left( x \right) – 2} \right) = 0\) có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt.
4. \(7\).
Cho hai số thực \(x,y\) thay đổi và thỏa mãn \({\left( {x + y} \right)^3} + 4xy \geqslant 2\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = 5\left( {{x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2}} \right) – 4\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 2\) bằng
2. \(14\).
Qua bảng biến thiên ta có \(\mathop {\min }\limits_{t \in \left[ {\frac{1}{2}; + \infty } \right]} f\left( t \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{15}}{{16}}\).Tức là, \(A \geqslant \frac{{15}}{{16}}\), dấu “=” xảy ra khi \(x = y = \frac{1}{2}\).Vậy giá trị nhỏ nhất của \(A\) bằng \(\frac{{15}}{{16}}\).Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = {x^4} – 8{\left| x \right|^3} + 22{x^2} – 24\left| x \right| + 6\sqrt 2 \).
4. \(3\).
Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số có 3 điểm cực trị dương.Một khối gỗ dạng hình chóp \(O.ABC\) CÓ \(OA,OB,OC\) đôi một vuông góc với nhau.\(OA = 3cm,OB = 6cm,OC = 12cm\). Trên mặt đáy \(ABC\) người ta đánh dấu một điểm \(M\) sau đó người cắt gọt khối gỗ để thu được một khối hộp chữ nhật có \(OM\) là một đường chéo, đồng thời hình hộp có ba mặt trên ba mặt bên của hình chóp (tham khảo hình vẽ). Khối hộp chữ nhật thu được có thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?
4. \(8c{m^3}.\)
Gọi \(I,H,K\) lần lượt là hình chiếu của điểm \(M\) lên mp\(\left( {OAB} \right),\left( {OBC} \right),\left( {OCA} \right)\)Ta có \({V_{O.ABC}} = {V_{M.OAB}} + {V_{M.OBC}} + {V_{M.OCA}}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{6}.OA.OB.OC = \frac{1}{6}.MI.OA.OB + \frac{1}{6}.MI.OB.OC + \frac{1}{6}.MI.OC.OA\)\( \Leftrightarrow MI + 4MH + 2MK = 12\)Khi đó thể tích khối hộp chữ nhật \(V = MI.MH.MK = \frac{1}{8}MI.\left( {4MH} \right).\left( {2MK} \right)\)\( \Leftrightarrow V \leqslant \frac{1}{8}{\left( {\frac{{MI + 4MH + 2MK}}{3}} \right)^3}\) \( \Leftrightarrow V \leqslant \frac{1}{8}{.4^3} \Leftrightarrow V \leqslant 8\)Vậy \({V_{\max }} = 8\) khi \(MI = 4MH = 2MK \Leftrightarrow MI = 1cm,MH = 4cm,MK = 2cm.\)Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\) và thể tích bằng \(\frac{{{a^3}}}{{2\sqrt 3 }}\). Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp \(S.ABCD\).
3. \(75^\circ \)
Ta có \(V = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SI \Leftrightarrow SI = \frac{{3V}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{3.\frac{{{a^3}}}{{2\sqrt 3 }}}}{{{a^2}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).Gọi \(M\) là trung điểm \(BC \Rightarrow IM = \frac{a}{2}\).Ta có: \(\left( {\left( {SBC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SM,IM} \right) = \widehat {SMI}\).Lại có \(\tan \widehat {SMI} = \frac{{SI}}{{IM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{a}{2}}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SMI} = 60^\circ \).$$Một người gửi số tiền \(300\)triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất kép \(6\% \) một năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi suất sẽ được nhập vào vốn ban đầu (lãi kép). Hỏi sau 3 năm không rút tiền gốc và lãi, số tiền trong ngân hàng của người đó gần nhất với số nào sau đây? (Giả sử lãi suất ngân hàng không thay đổi, kết quả làm tròn đến hàng nghìn)
4. \(357000000\) đồng.
Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \(\left( O \right)\) và \(\left( {O'} \right)\) có bán kính bằng \(R\) và chiều cao bằng \(2R\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm của \(OO'\) và tạo với \(OO'\) một góc \({30^o}\). Hỏi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt đường tròn đáy theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?
3. \(\frac{{4R}}{{3\sqrt 3 }}\).
Gọi M là trung điểm của OO'. Gọi A,B là giao điểm của mặt phẳng \((\alpha )\) và đường tròn (O) và H là hình chiếu của O trên AB\( = > AB \bot (MHO)\)Trong mặt phẳng (MHO) kẻ \(OK \bot MH,(K \in MH)\) khi đó góc giữa OO' và mặt phẳng \((\alpha )\)là góc \(\widehat {OMK} = {30^0}\)Xét tam giác vuông MHO, ta có: \(HO = OM\tan {30^0} = R\tan {30^0} = \frac{{R\sqrt 3 }}{3}\)Xét tam giác vuông AHO, ta có: \(AH = \sqrt {O{A^2} – O{H^2}} = \sqrt {{R^2} – \frac{{{R^2}}}{3}} = \frac{{R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)Do H là trung điểm của AB nên \(AB = \frac{{2R\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }}\)Cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 6,\,AD = 8\). Tính thể tích \(V\) của vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho hình chữ nhật \(ABCD\) quay quanh trục \(AC\) một góc \({360^0}\)
1. \(V = 106,725\pi \).
Gắn trục tọa độ Oxy như hình vẽAC=Ox, OB=OyGọi B',D' lần lượt là điểm đối xứng của B, D qua Ox, và M là trung điểm AC. Gọi E là giao điểm của AD' và CB, F là giao điểm của AD và CB'Khi cho hình chữ nhật quay xung quanh AC(Ox) thì thu được 1 khối tròn xoay chính là do hình đa giác ABED'C quay quanh trục hoành.Gọi M là trung điểm của AC. Do tính đối xứng của đa giác ABED'C nên thể tích khối tròn xoay đang xét gấp 2 lần thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay tứ giác ABEM quanh Ox(AM)Ta có:\(OA = \frac{{A{B^2}}}{{AC}} = 3,6 = > OB = – 6,4;OB = \frac{{BA.BC}}{{AC}} = 4,8;OM = MA – OA = 5 – 3,6 = 1,4\)Ta có:\(\begin{gathered} A(3,6;0),B(0;4,8),C( – 6,4;0) \hfill \\ = > AB:y = – \frac{{OB}}{{OA}}(x – {x_A}) + {y_A} = – \frac{4}{3}(x – 3,6) \hfill \\ CB:y = \frac{{OB}}{{OC}}(x – {x_C}) + {y_C} = \frac{{4,8}}{{6,4}}(x + 6,4) = \frac{3}{4}(x + 6,4) \hfill \\ \end{gathered} \)Do đó thể tích khối tròn xoay đã cho bằng\(V = 2\left[ {\pi \int\limits_{ – 1,4}^0 {{{\left[ {\frac{3}{4}(x + 6,4)} \right]}^2}dx + \pi \int\limits_0^{3,6} {{{\left[ { – \frac{4}{3}(x – 3,6)} \right]}^2}dx} } } \right] = \frac{{4269\pi }}{{40}}\)Cho hàm số \(y = \frac{{ax + b}}{{{x^2} + 2}}\), với \(a\) khác \(0\) và \(a,b\) là các tham số thực. Biết \(\max y = 6,\,\min y = – 2\). Giá trị của biểu thức \(P = \frac{{{a^2} – {b^2}}}{{{a^2}}}\) bằng bao nhiêu?
3. \( - \frac{1}{3}\).
Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy là hình chữ nhật \(AB = 3,AD = 2\). Mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho bằng:
2. \(V = \frac{{16\pi }}{3}\).
Gọi \(H,I,M,O\) lần lươt là trung điểm của \(AB,AC,CD,SM\).Ta có \(\left\{ \begin{gathered} \left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \hfill \\ SH \bot AB \hfill \\ SH \subset \left( {SAB} \right) \hfill \\ \left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\), kẻ đường thẳng \(\Delta \) qua \(I\) và vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ đường thẳng \(d\) qua \(G\) song song với \(HI\) cắt \(\Delta \) tại \(O\).Suy ra \(O\)là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\), \(R\) là bán kính mặt cầu ngoai tiếp hình chóp \(S.ABCD\). Ta có \(SH = AB.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2};HI = 1\).Ta có \(R = SO = \sqrt {S{G^2} + G{O^2}} = 2\).Thể tích khối cầu \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{{32}}{3}\pi \).Cho hai số thực \(x,y\) thoả mãn \(0 \leqslant x \leqslant 2020\) và \({\log _2}(2x + 2) + x – 3y = {8^y}\). Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên \((x;y)\) thỏa mãn các điều kiện đã cho?
2. 2018.
Một hộp đựng \(4\) viên bi màu đỏ và \(6\) viên bi màu xanh, các viên bi có đường kính khác nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời \(5\) viên bi trong hộp. Tính xác suất để \(5\) viên bi được lấy ra có ít nhất \(3\) viên bi màu đỏ.
3. \(\frac{5}{{21}}\).
Tính tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} – 2x + m}}\) có đúng hai đường tiệm cận.
2. \( - 4\).
Kết quả:
Hỗ trợ học tập hiệu quả với tài liệu PDF, Word - SachTruyen.com.vn chia sẻ các tài liệu học tập chất lượng, bao gồm sách, bài tập, đề thi, giúp người dùng học tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong các kỳ thi.
DANH MỤC NỔI BẬT
Tài Liệu Toán, Tài liệu Tiếng Anh, Tài Liệu Công Dân, Tài Liệu Địa Lí, Tài Liệu Lịch Sử, Tài Liệu Sinh Học, Tài Liệu Ngữ Văn, Tài Liệu Hóa Học, Tài Liệu Vật lí.
VỀ CHÚNG TÔI