Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Question 1

Câu 1:

Điểm $M$ trong hình vẽ bên biểu diễn số phức $z$. Tính module của $z$. Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
1. $\left| z \right| = 8$.
B
2. $\left| z \right| = 2$.
C
3. $\left| z \right| = \sqrt {34} $.
D
4. $\left| z \right| = 34$.

Answer

4. $\left| z \right| = 34$.

Question 2

Câu 2:

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 2y – 6z + 4 = 0$ có bán kính $R$ là

A
1. $R = \sqrt {53} $.
B
2. $R = 4\sqrt 2 $.
C
3. $R = \sqrt {10} $.
D
4. $R = 3\sqrt 7 $.

Answer

3. $R = \sqrt {10} $.

Question 3

Câu 3:

Điểm nào dưới đây không thuộc đồ thị của hàm số $y = – {x^4} + {x^2} – 2$

A
1. Điểm $P( - 1; - 2)$.
B
2. Điểm $N(1; - 2)$.
C
3. Điểm $Q(0; - 2)$.
D
4. Điểm $M( - 1;0)$.

Answer

3. Điểm $Q(0; - 2)$.

Question 4

Câu 4:

Khối cầu bán kính $R = 2a$ có thể tích là:

A
1. $\frac{{8\pi {a^3}}}{3}$.
B
2. $6\pi {a^3}$.
C
3. $16\pi {a^2}$.
D
4. $\frac{{32\pi {a^3}}}{3}$.

Answer

1. $\frac{{8\pi {a^3}}}{3}$.

Question 5

Câu 5:

Tất cả nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 3}}$ là

A
1. $\frac{1}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C$.
B
2. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.
C
3. $\frac{1}{{\ln 2}}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.
D
4. $\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.

Answer

2. $\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.

Question 6

Câu 6:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ là đường cong ở hình bên. Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11 Hỏi hàm số $y = f\left( x \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A
1. $4$.
B
2. $5$.
C
3. $6$.
D
4. $3$.

Answer

1. $\left[ { - 1; + \infty } \right)$.

Answer

3. $h = \sqrt 3 a.$

Answer

2. $D = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

Answer

4. $\left[ \begin{gathered} x = 10 \hfill \\ x = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.

Answer

1. $I = - 2$.

Answer

3. $w = - 15 - 20i$.

Answer

1. $\left( {3;0; - 1} \right)$.

Answer

2. $\vec d\left( { - 7;0;4} \right)$

Answer

4. $2 - i$.

Answer

2. $y = 3$.

Answer

1. $P = 13$

Answer

2. $y = 3{x^2} + 2x + 1$.

Answer

4. $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)$.

Answer

2. $C_4^2 + C_6^1$.

Answer

3. $\frac{{{a^3}}}{4}$.

Answer

2. $y' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}$.

Answer

3. $\left( {2; + \infty } \right)$.

Answer

1. $S = 3\pi {a^2}$.

Answer

2. $\int\limits_3^5 {2f\left( z \right)} {\text{d}}z = 13$.

Answer

4. ${u_1} = 27$.

Answer

3. $\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = 2{\sin ^2}\frac{x}{2} + 2\ln x + C$.

Answer

3. $y = 1$.

Answer

4. $x = - 1$.

Answer

3. $y = - {x^3} + {x^2} - 2x - 1$.

Answer

2. $a = 6b$.

Answer

1. $30^\circ $.

Answer

4. $S = 1$.

Answer

1. $\left( P \right):x + 5y + 8z - 16 = 0$.

Answer

4. $\frac{{a\sqrt 5 }}{5}$.

Answer

1. $\frac{{16}}{{81}}$.

Answer

2. $\left\{ \begin{gathered} x = 3 + t \hfill \\ y = 2t \hfill \\ z = 1 - t \hfill \\ \end{gathered} \right.$.

Answer

4. $9999$.

Answer

3. $ - \frac{{87}}{{64}}$.

Answer

1. $V = \frac{{3{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$.

Answer

1. $\frac{{x - 1}}{6} = \,\frac{{y + 1}}{1}\, = \,\frac{{z - 3}}{5}$.

Answer

4. ${\text{V = }}\frac{{80{a^3}}}{7}$.

Answer

4. $15$.

Answer

1. $\sqrt {51} $.

Answer

3. ${\text{2004}}$.

Answer

4. $101$.

Answer

3. $\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{5}} \right)$.

Question 7

Câu 7:

Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \geqslant 2$ là:

A
1. $\left[ { - 1; + \infty } \right)$.
B
2. $\left( { - 1; + \infty } \right)$.
C
3. $\left( { - \infty ; - 1} \right]$.
D
4. $\left( { - \infty ; - 1} \right)$.

Question 8

Câu 8:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và thể tích bằng ${a^3}$.Tính chiều cao $h$ của hình chóp đã cho.

A
1. $h = a.$
B
2. $h = 2a.$
C
3. $h = \sqrt 3 a.$
D
4. $h = 3a.$

Question 9

Câu 9:

Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = {\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)^{\sqrt 2 }}$.

A
1. $D = \mathbb{R}$.
B
2. $D = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
C
3. $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}$.
D
4. $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

Question 10

Câu 10:

Phương trình ${\log _3}\left( {{x^2} – 10x + 9} \right) = 2$ có nghiệm là:

A
1. $\left[ \begin{gathered} x = - 2 \hfill \\ x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
B
2. $\left[ \begin{gathered} x = 10 \hfill \\ x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
C
3. $\left[ \begin{gathered} x = - 2 \hfill \\ x = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
D
4. $\left[ \begin{gathered} x = 10 \hfill \\ x = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.

Question 11

Câu 11:

Cho $\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\text{d}}x = – 3} $, $\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\text{d}}x = 5} $ và $\int\limits_1^5 {g\left( x \right){\text{d}}x = 6} $. Tính tích phân $I = \int\limits_1^5 {\left[ {2.f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\text{d}}x} $.

A
1. $I = - 2$.
B
2. $I = 10$.
C
3. $I = 4$.
D
4. $I = 8$.

Question 12

Câu 12:

Điểm $M$ trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức $z$. Khi đó số phức $w = 5\bar z$ là Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
1. $w = 15 + 20i$.
B
2. $w = 15 - 20i$.
C
3. $w = - 15 - 20i$.
D
4. $w = 15 + 20i$.

Question 13

Câu 13:

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $3x – z + 1 = 0$. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ có tọa độ là

A
1. $\left( {3;0; - 1} \right)$.
B
2. $\left( { - 3;1;1} \right)$.
C
3. $\left( {3; - 1;0} \right)$.
D
4. $\left( {3; - 1;1} \right)$.

Question 14

Câu 14:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba vecto $\vec a\left( {1;2;3} \right);\vec b\left( {2;2; – 1} \right);\vec c\left( {4;0; – 4} \right)$. Tọa độ của vecto $\vec d = \vec a – \vec b + 2\vec c$ là

A
1. $\vec d\left( { - 7;0; - 4} \right)$
B
2. $\vec d\left( { - 7;0;4} \right)$
C
3. $\vec d\left( {7;0;4} \right)$
D
4. $\vec d\left( {7;0; - 4} \right)$

Question 15

Câu 15:

Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức $z$. Số phức $\overline z $ là: Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
1. $1 - 2i$.
B
2. $2 + i$.
C
3. $1 + 2i$.
D
4. $2 - i$.

Question 16

Câu 16:

Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{3 – 2x}}{{x – 2}}$

A
1. $y = - 2$.
B
2. $y = 3$.
C
3. $x = 2$.
D
4. $x = - 2$.

Question 17

Câu 17:

Cho ${\log _a}b = 2$ và ${\log _a}c = 3$. Tính $P = {\log _a}\left( {{b^2}{c^3}} \right)$.

A
1. $P = 13$
B
2. $P = 31$
C
3. $P = 108$
D
4. $P = 30$

Question 18

Câu 18:

Đồ thị như hình vẽ là của hàm số Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
1. $y = - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + 1$.
B
2. $y = 3{x^2} + 2x + 1$.
C
3. $y = {x^3} - 3{x^2} + 1$.
D
4. $y = {x^4} + 3{x^2} + 1$.

Question 19

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x}{{ – 1}} = \frac{{y – 4}}{2} = \frac{{z – 3}}{3}$. Hỏi trong các vectơ sau, đâu không phải là vectơ chỉ phương của $d$?

A
1. $\overrightarrow {{u_4}} = \left( { - 2;4;3} \right)$.
B
2. $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2;3} \right)$.
C
3. $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3; - 6; - 9} \right)$.
D
4. $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)$.

Question 20

Câu 20:

Một tổ có $4$ học sinh nam và $6$ học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra $3$ học sinh trong đó có $2$học sinh nam?

A
1. $A_4^2 + A_6^1$.
B
2. $C_4^2 + C_6^1$.
C
3. $C_4^2.C_6^1$.
D
4. $A_4^2.A_6^1$.

Question 21

Câu 21:

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ biết tam giác $ABC$ vuông cân tại $A,\,\,\,AB = 2AA' = a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A
1. ${a^3}$.
B
2. $\frac{{{a^3}}}{2}$.
C
3. $\frac{{{a^3}}}{4}$.
D
4. $\frac{{{a^3}}}{{12}}$.

Question 22

Câu 22:

Đạo hàm của hàm số $y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)$ là:

A
1. $y' = \frac{{2x\ln 2}}{{{x^2} + 1}}$.
B
2. $y' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}$.
C
3. $y' = \frac{{\ln 2}}{{{x^2} + 1}}$.
D
4. $y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}$.

Question 23

Câu 23:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11 Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A
1. $\left( {1;4} \right)$.
B
2. $\left( { - \infty ;1} \right)$.
C
3. $\left( {2; + \infty } \right)$.
D
4. $\left( { - 1;1} \right)$.

Question 24

Câu 24:

Biết thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh $a$, tính diện tích toàn phần $S$ của hình trụ đó.

A
1. $S = 3\pi {a^2}$.
B
2. $S = \pi {a^2}$.
C
3. $S = \frac{5}{4}\pi {a^2}$.
D
4. $S = \frac{3}{2}\pi {a^2}$.

Question 25

Câu 25:

Cho biết $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} {\text{d}}x = 3,\,\,\int\limits_0^5 {f\left( t \right)} {\text{d}}t = 10$. Tính $\int\limits_3^5 {2f\left( z \right)} {\text{d}}z$.

A
1. $\int\limits_3^5 {2f\left( z \right)} {\text{d}}z = 7$.
B
2. $\int\limits_3^5 {2f\left( z \right)} {\text{d}}z = 13$.
C
3. $\int\limits_3^5 {2f\left( z \right)} {\text{d}}z = 14$.
D
4. $\int\limits_3^5 {2f\left( z \right)} {\text{d}}z = - 7$.

Question 26

Câu 26:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_4} = 1$; $q = 3$. Tìm ${u_1}$?

A
1. ${u_1} = \frac{1}{9}$.
B
2. ${u_1} = 9$.
C
3. ${u_1} = \frac{1}{{27}}$.
D
4. ${u_1} = 27$.

Question 27

Câu 27:

Biết $\int {f\left( {2x} \right){\text{d}}x} = {\sin ^2}x + \ln x + C$. Tìm nguyên hàm $\int {f\left( x \right){\text{d}}x} $?

A
1. $\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = {\sin ^2}\frac{x}{2} + \ln x + C$.
B
2. $\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = 2{\sin ^2}2x + 2\ln x + C$.
C
3. $\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = 2{\sin ^2}\frac{x}{2} + 2\ln x + C$.
D
4. $\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = 2{\sin ^2}x + 2\ln x + C$.

Question 28

Câu 28:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Giá trị cực tiểu của hàm số là Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
1. $y = - 3$.
B
2. $y = - 1$.
C
3. $y = 1$.
D
4. $y = 2$.

Question 29

Câu 29:

Trên đoạn $\left[ { – 2;1} \right]$, hàm số $y = {x^3} – 2{x^2} – 7x + 1$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm

A
1. $x = 0$.
B
2. $x = 2$.
C
3. $x = - 3$.
D
4. $x = - 1$.

Question 30

Câu 30:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

A
1. $y = - {x^4} + 2{x^2} - 2$.
B
2. $y = {x^4} - 3{x^2} + 5$.
C
3. $y = - {x^3} + {x^2} - 2x - 1$.
D
4. $y = - {x^3} - 3{x^2} + 4$.

Question 31

Câu 31:

Với $a,\,\,b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn ${\log _3}a – 2{\log _9}b = 2$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A
1. $a = 9{b^2}$.
B
2. $a = 6b$.
C
3. $a = 9b$.
D
4. $a = 9{b^2}$.

Question 32

Câu 32:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$, biết đáy $ABCD$ là hình vuông. Tính góc giữa $A'C$ và $BD$. Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
1. $30^\circ $.
B
2. $45^\circ $.
C
3. $90^\circ $.
D
4. $60^\circ $.

Question 33

Câu 33:

Biết $\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 + \ln x} }}dx = a + b\sqrt 2 } $ với $a,b$ là các số hữu tỷ. Tính $S = a + b$.

A
1. $S = \frac{1}{2}$.
B
2. $S = \frac{2}{3}$.
C
3. $S = \frac{3}{4}$.
D
4. $S = 1$.

Question 34

Câu 34:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau ${d_1}:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 6}}{{ – 2}} = \frac{{z + 2}}{1}$ và ${d_2}:\frac{{x – 4}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 2}}{{ – 2}}$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${d_1}$ và $\left( P \right)$song song với đường thẳng ${d_2}$ là

A
1. $\left( P \right):x + 5y + 8z - 16 = 0$.
B
2. $\left( P \right):2x + y - 6 = 0$.
C
3. $\left( P \right):x + 4y + 6z - 12 = 0$.
D
4. $\left( P \right):x + 5y + 8z + 16 = 0$.

Question 35

Câu 35:

Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ thoả mãn $iz + \left( {1 – i} \right)\bar z = – 2i$ bằng

A
1. $2$
B
2. $ - 2$
C
3. $ - 6$
D
4. $6$

Question 36

Câu 36:

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $AA' = 2a$. Gọi $M$là trung điểm của $CC'$ (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ bằng Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
1. $\frac{{2\sqrt {57} a}}{{19}}$.
B
2. $\frac{{\sqrt {57} a}}{{19}}$.
C
3. $\frac{{2\sqrt 5 a}}{5}$.
D
4. $\frac{{a\sqrt 5 }}{5}$.

Question 37

Câu 37:

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp số có ba chữ số khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là số chẳn bằng

A
1. $\frac{{16}}{{81}}$.
B
2. $\frac{{41}}{{81}}$.
C
3. $\frac{4}{9}$.
D
4. $\frac{1}{2}$.

Question 38

Câu 38:

Trong không gian ${\text{Ox}}yz$, cho điểm $A\left( {2;0; – 1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,x + y – 1 = 0$. Đường thẳng đi qua $A$ đồng thời song song với $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( {{\text{Ox}}y} \right)$ có phương trình là

A
1. $\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2t \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ z = - t \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
B
2. $\left\{ \begin{gathered} x = 3 + t \hfill \\ y = 2t \hfill \\ z = 1 - t \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
C
3. $\left\{ \begin{gathered} x = 3 + t \hfill \\ y = 1 + 2t \hfill \\ z = - t \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
D
4. $\left\{ \begin{gathered} x = 2 + t \hfill \\ y = - t \hfill \\ z = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.

Question 39

Câu 39:

Cho bất phương trình $\left( {\log x + 1} \right)\left( {4 – \log x} \right) > 0$. Có bao nhiêu số nguyên $x$ thoả mãn bất phương trình trên.

A
1. $10000$.
B
2. $10001$.
C
3. $9998$.
D
4. $9999$.

Question 40

Câu 40:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình $f\left( {f\left( x \right) – 1} \right) = 0$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
1. $4$.
B
2. $6$.
C
3. $5$.
D
4. $7$.

Question 41

Câu 41:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{27}}{8}$ và$f'\left( x \right) = 12\sin 2x.{\cos ^2}3x,\forall x \in \mathbb{R}$. Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 0$, khi đó $F\left( \pi \right)$ bằng

A
1. $\frac{{87}}{{64}}$.
B
2. $ - \frac{{21}}{8}$.
C
3. $ - \frac{{87}}{{64}}$.
D
4. $0$.

Ta có $f'\left( x \right) = 12\sin 2x.{\cos ^2}3x,\forall x \in \mathbb{R}$ nên $f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f'\left( x \right)$.Có $\int {f'\left( x \right){\text{d}}x} = \int {12\sin 2x.{{\cos }^2}3x{\text{d}}x} = \int {12.\sin 2x.\frac{{1 + \cos 6x}}{2}{\text{d}}x} = \int {6.\sin 2x{\text{d}}x + \int {6\sin 2x.\cos 6x{\text{d}}x} } $$ = 6\int {\sin 2x} {\text{d}}x + 3\int {\left( {\sin 8x – \sin 4x} \right){\text{d}}x = – 3\cos 2x – \frac{3}{8}\cos 8x + \frac{3}{4}\cos 4x + C} $.Suy ra$f\left( x \right) = – 3\cos 2x – \frac{3}{8}\cos 8x + \frac{3}{4}\cos 4x + C$. Mà $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{27}}{8} \Rightarrow C = 0$.Do đó. Khi đó:$\begin{gathered} F\left( \pi \right) – F\left( 0 \right) = \int\limits_0^\pi {f\left( x \right){\text{d}}x} = \int\limits_0^\pi {\left( { – 3\cos 2x – \frac{3}{8}\cos 8x + \frac{3}{4}\cos 4x} \right){\text{d}}x} \hfill \\ = \left. {\left( { – \frac{3}{2}\sin 2x – \frac{3}{{64}}\sin 8x + \frac{3}{{16}}\sin 4x} \right)} \right|_0^\pi = 0 \hfill \\ \Rightarrow F\left( \pi \right) = F\left( 0 \right) + 0 = – \frac{{21}}{8} + 0 = – \frac{{21}}{8} \hfill \\ \end{gathered} $

Question 42

Câu 42:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với đáy$ABCD$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $ABCD$ bằng ${60^0}$. Gọi $M\,,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SB\,,\,SC$. Tính thể tích khối chóp $S.ADNM$.

A
1. $V = \frac{{3{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$.
B
2. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}$.
C
3. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$.
D
4. $V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}$.

Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Gọi $O = AC \cap BD$.$AO \bot BD \Rightarrow SO \bot BD$. Nên góc của $\left( {SBD} \right)$ và $ABCD$ là góc $\widehat {SOA} = {60^0}$.${V_{S.ADN}} = \frac{1}{2}.{V_{S.ADC}} = \frac{1}{4}.{V_{S.ABCD}}$ và ${V_{S.AMN}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}$.$ \Rightarrow {V_{S.ADMN}} = {V_{S.ADN}} + {V_{S.AMN}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}$.$SA = AO.\tan \widehat {SOA} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$ $ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$.$ \Rightarrow {V_{S.ADMN}} = \frac{3}{8}.\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$.

Question 43

Câu 43:

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${z^2} + 4az + {b^2} + 2 = 0,$ ($a,\,\,b$ là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực $\left( {a;\,b\,} \right)$sao cho phương trình đó có hai nghiệm ${z_1},\,{z_2}$ thỏa mãn ${z_1} + 2i{z_2} = 3 + 3i?$

A
1. $4.$
B
2. $1.$
C
3. $2.$
D
4. $3.$

Theo định lý Vi-ét, ta có: $\left\{ \begin{gathered} {z_1} + {z_2} = – 4a \hfill \\ {z_1}{z_2} = {b^2} + 2\, \hfill \\ \end{gathered} \right.$.Theo yêu cầu bài toán, phương trình đã cho có hai nghiệm ${z_1},\,\,{z_2}$ thỏa mãn${z_1} + 2i{z_2} = 3 + 3i$$ \Leftrightarrow {z_1} + 2i{z_2} – 3 – 3i = 0$$ \Leftrightarrow \left( {{z_1} + 2i{z_2} – 3 – 3i} \right)\left( {{z_2} + 2i{z_1} – 3 – 3i} \right) = 0$$ \Leftrightarrow – 3{z_1}{z_2} – \left( {1 + 2i} \right)\left( {3 + 3i} \right)\left( {{z_1} + {z_2}} \right) + 18i + 2i\left( {z_1^2 + z_2^2} \right) = 0$$ \Leftrightarrow – 3\left( {{b^2} + 2} \right) + \left( {3 – 9i} \right)\left( { – 4a} \right) + 18i + 2i\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} – 2{z_1}{z_2}} \right] = 0$$ \Leftrightarrow – 3\left( {{b^2} + 2} \right) + \left( {3 – 9i} \right)\left( { – 4a} \right) + 18i + 2i\left[ {16{a^2} – 2\left( {{b^2} + 2} \right)} \right] = 0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} – 3\left( {{b^2} + 2} \right) – 12a = 0 \hfill \\ 36a + 18 + 32{a^2} – 4\left( {{b^2} + 2} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {b^2} + 2 = – 4a \hfill \\ 36a + 18 + 32{a^2} + 16a = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {b^2} + 2 = – 4a \hfill \\ 32{a^2} + 52a + 18 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {b^2} + 2 = – 4a \hfill \\ \left[ \begin{gathered} a = – \frac{1}{2} \hfill \\ a = – \frac{9}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = – \frac{1}{2};b = 0 \hfill \\ a = – \frac{9}{8};{b^2} = \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = – \frac{1}{2};b = 0 \hfill \\ a = – \frac{9}{8};b = \pm \frac{{\sqrt {10} }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right..$Vậy có $3$ cặp số thực $\left( {a;\,b\,} \right)$ thỏa mãn bài toán.

Question 44

Câu 44:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1; – 1;3} \right)$ và hai đường thẳng:${d_1}:\frac{{x – 4}}{1}\, = \,\frac{{y + 2}}{4}\, = \,\frac{{z – 1}}{{ – 2}},\,\,{d_2}:\,\frac{{x – 2}}{1}\, = \,\frac{{y + 1}}{{ – 1}}\, = \,\frac{{z – 1}}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$,vuông góc với đường thẳng ${d_1}$ và cắt đường thẳng ${d_2}$.

A
1. $\frac{{x - 1}}{6} = \,\frac{{y + 1}}{1}\, = \,\frac{{z - 3}}{5}$.
B
2. $\frac{{x - 1}}{2} = \,\frac{{y + 1}}{1}\, = \,\frac{{z - 3}}{3}$.
C
3. $\frac{{x - 1}}{2} = \,\frac{{y + 1}}{{ - 1}}\, = \,\frac{{z - 3}}{{ - 1}}$.
D
4. $\frac{{x - 1}}{6} = \,\frac{{y + 1}}{{ - 4}}\, = \,\frac{{z - 3}}{{ - 1}}$.

Ta có: ${\overrightarrow u _{{d_1}}} = \left( {1;4; – 2} \right)$${d_2}:\frac{{x – 2}}{1}\, = \,\frac{{y + 1}}{{ – 1}}\, = \frac{{z – 1}}{1}$ nên phương trình tham số của ${d_2}:\left\{ \begin{gathered} x = 2 + t \hfill \\ y = – 1 – t \hfill \\ z = 1 + t \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$Gọi đường thẳng $d$ cắt đường thẳng ${d_2}$ tại $M\left( {2 + t; – 1 – t;1 + t} \right)$Ta có: $\overrightarrow {AM} = \left( {1 + t; – t;t – 2} \right)$Đường thẳng $d$ đi qua $A;M$ nên vectơ chỉ phương ${\overrightarrow u _d} = \left( {1 + t; – t;t – 2} \right)$Theo đề bài $d$ vuông góc ${d_1}$ $ \Rightarrow {\overrightarrow u _d} \bot {\overrightarrow u _{{d_1}}} \Leftrightarrow {\overrightarrow u _d}.{\overrightarrow u _{{d_1}}} = 0 \Leftrightarrow 1.\left( {1 + t} \right) + 4\left( { – t} \right) – 2\left( {t – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1$$ \Rightarrow {\overrightarrow u _d} = \left( {2; – 1; – 1} \right)$Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {1; – 1;3} \right)$ và có ${\overrightarrow u _d} = \left( {2; – 1; – 1} \right)$ có dạng:$\frac{{x – 1}}{2}\, = \,\frac{{y + 1}}{{ – 1}}\, = \,\frac{{z – 3}}{{ – 1}}$.

Question 45

Câu 45:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = 3a,AC = 4a,AD = 5a.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $DAB,$ $DBC,$ $DCA.$ Tính thể tích V của tứ diện $DMNP$ khi thể tích tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất.

A
1. $V = \frac{{120{a^3}}}{{27}}$.
B
2. ${\text{V = }}\frac{{10{a^3}}}{4}$.
C
3. ${\text{V = }}\frac{{20{a^3}}}{{27}}.$
D
4. ${\text{V = }}\frac{{80{a^3}}}{7}$.

Ta có: $\frac{{{V_{D.MNP}}}}{{{V_{D.HIK}}}} = \frac{{DM}}{{DH}}.\frac{{DN}}{{DI}}.\frac{{DP}}{{DK}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} \Rightarrow {V_{D.MNP}} = \frac{8}{{27}}{V_{D.HIK}} = \frac{8}{{27}}.\frac{1}{4}{V_{D.ABC}} = \frac{2}{{27}}.{V_{D.ABC}}$Ta có: ${V_{D.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AB.AC.sinA.DE \leqslant \frac{1}{6}AB.AC.DE$($DE$ là đường cao của hình chóp $D.ABC$ )

Dấu bằng xảy ra khi: $DA = DE$ và $ BAC=900

Question 46

Câu 46:

Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11 Hàm số $g\left( x \right) = \left| {f\left( {xf\left( x \right)} \right) + \frac{3}{4}} \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A
1. $13$.
B
2. $12$.
C
3. $14$.
D
4. $15$.

Xét $u\left( x \right) = f\left( {xf\left( x \right)} \right) + \frac{3}{4}$.

Ta có: $f\left( x \right) + \frac{3}{4} = \frac{7}{{16}}x{\left( {x – 3} \right)^2} \Rightarrow u\left( x \right) = f\left( {xf\left( x \right)} \right) + \frac{3}{4} = \frac{7}{{16}}xf\left( x \right){\left( {xf\left( x \right) – 3} \right)^2}$ có 4 lần đổi dấu

Xét $u'\left( x \right) = \left( {f\left( x \right) + xf'\left( x \right)} \right)f'\left( {xf\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 3{n_0}\;\left( 1 \right) \hfill \\ xf\left( x \right) = 1 \Rightarrow 4{n_0}\;\left( 2 \right) \hfill \\ xf\left( x \right) = 3 \Rightarrow 2{n_0}\;\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có $9$ lần đổi dấu.

Thật vậy:$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{7}{{16}}{x^3} – \frac{{21}}{8}{x^2} + \frac{{63}}{{16}}x – \frac{3}{4} + x\left( {\frac{{21}}{{16}}{x^2} – \frac{{21}}{4}x + \frac{{63}}{{16}}} \right) = 0 \Rightarrow 3{n_0}$.$\left( 2 \right) \Leftrightarrow x\left( {\frac{7}{{16}}{x^3} – \frac{{21}}{8}{x^2} + \frac{{63}}{{16}}x – \frac{3}{4}} \right) – 1 = 0 \Rightarrow 4{n_0}$Và $\left( 3 \right) \Leftrightarrow x\left( {\frac{7}{{16}}{x^3} – \frac{{21}}{8}{x^2} + \frac{{63}}{{16}}x – \frac{3}{4}} \right) – 3 = 0 \Rightarrow 2{n_0}$.

Do đó: $u\left( x \right)$ có 9 điểm cực trị

Vậy hàm số $g\left( x \right) = \left| {u\left( x \right)} \right|$ có $9 + 4 = 13$ điểm cực trị.

Question 47

Câu 47:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 9$ và hai điểm $A\left( {1;3;2} \right)$, $B\left( {9; – 3;4} \right)$. Gọi $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ là hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa $AB$ và tiếp xúc với $\left( S \right)$ tại $M$ và $N$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABMN$ bằng

A
1. $\sqrt {51} $.
B
2. $\sqrt {26} $.
C
3. $\frac{{\sqrt {129} }}{2}$.
D
4. $\frac{{\sqrt {4874} }}{7}$.

Mặt cầu có tâm $I\left( { – 2; – 1;2} \right)$, $R = 3$.Ta có . Đường thẳng $AB:\frac{{x – 5}}{4} = \frac{y}{{ – 3}} = \frac{{z – 3}}{1}$.Gọi $H = AB \cap \left( {IMN} \right)$ khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {IM \bot \left( P \right) \supset AB} \\ {IN \bot \left( Q \right) \supset AB} \end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {IMN} \right)} \right.$.Do đó $H\left( {1;3;2} \right)$ là tọa độ hình chiếu vuông góc của $I$ trên đường thẳng $AB$. Dễ thấy $H \equiv A$ và $IA \bot MN$ tại trung điểm $K$ của $MN$.Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có$IK.IA = I{M^2} = {R^2} = 9 \Leftrightarrow IK = \frac{9}{{IA}} = \frac{9}{5} \Rightarrow AK = IA – IK = 5 – \frac{9}{5} = \frac{{16}}{5}$.$MN = 2MK = 2\sqrt {{R^2} – I{K^2}} = 2\sqrt 9 $.Hình chóp $.AMN$ có cạnh bên $BA$ vuông góc với đáy nên ${R_{ABMN}} = \sqrt {R_{AMN}^2 + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt {104} }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {129} }}{2}$.Trong đó ${R_{AMN}} = {R_{IMN}} = \frac{{MN}}{{2\sin \widehat {MIN}}} = \frac{{\frac{{24}}{5}}}{{2\sqrt {1 – {{\left( {\frac{{{3^2} + {3^2} – {{\left( {\frac{{24}}{5}} \right)}^2}}}{{2.3.3}}} \right)}^2}} }} = \frac{5}{2}$ (do tứ giác $IMAN$nội tiếp).

Question 48

Câu 48:

Có bao nhiêu số nguyên $m \in \left[ {2;2023} \right]$ để tồn tại hai cặp số thực $\left( {x;y} \right)$ thoả mãn ${x^2} + {y^3} = m$ và ${\log _2}x{\log _3}y = 1$?

A
1. ${\text{2019}}$.
B
2. ${\text{2007}}$.
C
3. ${\text{2004}}$.
D
4. ${\text{2005}}$.

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_2}x = t} \\ {{{\log }_3}y = \frac{1}{t}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{r}} {x = {2^t}} \\ {y = {3^{\frac{1}{t}}}} \end{array} \Rightarrow m = g\left( t \right) = {4^t} + {{27}^{\frac{1}{t}}}} \right.} \right.$.Ta có $g'\left( t \right) = {4^t}\ln 4 – \frac{1}{{{t^2}}}{27^{\frac{1}{t}}}\ln 27$.$g''\left( t \right) = {4^t}{\ln ^2}4 + \frac{2}{{{t^3}}}{27^{\frac{1}{t}}}\ln 27 + \frac{1}{{{t^4}}}{27^{\frac{1}{t}}}{\ln ^2}27 > 0,\forall t > 0$

Nếu $t < 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 < x < 1} \\ {0 < y < 1} \end{array} \Rightarrow {x^2} + {y^3} < 1 + 1 = 2 \leqslant m} \right.$ (loại). Nếu $t > 0 \Rightarrow g'\left( t \right) = 0$ có đúng một nghiệm $t = {t_0} \approx 1,5419$; $g\left( {{t_0}} \right) \approx 16,9568$.

Suy ra $m \in \left\{ {17, \ldots ,2023} \right\}$.

Vậy có 2007 số nguyên thỏa mãn

Question 49

Câu 49:

Cho $f\left( x \right)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ sau Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( {a;b} \right)$ thỏa mãn $a + b \leqslant 16$ để phương trình $f\left( {a{x^2} – 1} \right) = \frac{1}{{bx}}$ có đúng 7 nghiệm thực phân biệt

A
1. $99$.
B
2. $89$.
C
3. $96$.
D
4. $101$.

Đặt $t = a{x^2} – 1$ $\left( {t > – 1} \right)$$ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{a}\left( {t + 1} \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{{\sqrt a }}\sqrt {t + 1} ,\,\left( {x > 0} \right) \hfill \\ x = – \frac{1}{{\sqrt a }}\sqrt {t + 1} ,\,\left( {x < 0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} f\left( t \right) = \frac{{\sqrt a }}{{b\sqrt {t + 1} }} \hfill \\ f\left( t \right) = - \frac{{\sqrt a }}{{b\sqrt {t + 1} }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.Vẽ thêm đồ thị hai hàm số $g\left( x \right) = \frac{{\sqrt a }}{{b\sqrt {x + 1} }}$; $h\left( x \right) = - \frac{{\sqrt a }}{{b\sqrt {x + 1} }}$. Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Vậy phương trình có 7 nghiệm khi và chỉ khi $\left\{ \begin{gathered} g\left( 1 \right) < 1 \hfill \\ h\left( 3 \right) > \frac{3}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt 2 b}} < 1 \hfill \\ - \frac{{\sqrt a }}{{2b}} > – \frac{3}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt 2 b$$ \Leftrightarrow a < 2{b^2}$.+ Nếu $2{b^2} > 15$$ \Rightarrow b \in \left\{ {3;…;15} \right\}$$ \Rightarrow a \in \left\{ {1;…;16 – b} \right\}$$ \Rightarrow \sum\limits_{b = 3}^{15} {\left( {16 – b} \right)} = 91$ cặp.+) Nếu $2{b^2} \leqslant 15$$ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} b = 1 \Rightarrow a < 2 \Rightarrow a = 1 \hfill \\ b = 2 \Rightarrow a < 8 \Rightarrow a \in \left\{ {1;...;7} \right\} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có 8 cặp.Vậy tất cả có 99 cặp số nguyên dương thỏa mãn.

Question 50

Câu 50:

Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx – 1$; $g\left( x \right) = m{x^2} + nx + 1$ có đồ thị như hình vẽ bên Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11 Biết rằng $f''\left( 2 \right) = 0$ và hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{x_2},{x_3}$ thỏa mãn ${x_1} + {x_2} + {x_3} = 7$. Diện tích của hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ thuộc khoảng nào dưới đây?

A
1. $\left( {0;\frac{2}{5}} \right)$.
B
2. $\left( {\frac{3}{5};1} \right)$.
C
3. $\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{5}} \right)$.
D
4. $\left( {\frac{2}{5};\frac{1}{2}} \right)$.

Ta có: $f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c;f''\left( x \right) = 6ax + 2b \Rightarrow f''\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow 12a + 2b = 0 \Leftrightarrow b = – 2a$Vậy $f\left( x \right) = a{x^3} – 6a{x^2} + cx – 1$.Do $f\left( x \right)$ là hàm số bậc ba và $g\left( x \right)$ là hàm số bậc hai và quan sát đồ thị đã cho tại các điểm cực trị ${x_0}$của $f\left( x \right)$ thì $g\left( {{x_0}} \right) = 0$Do đó: $g\left( x \right) = k.f'\left( x \right) \Leftrightarrow m{x^2} + nx + 1 = k\left( {3a{x^2} – 12ax + c} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 3ka \hfill \\ n = – 12ka \hfill \\ 1 = kc \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow g\left( x \right) = 3ka\left( {{x^2} – 4x} \right) + 1$$\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = 1 – 12ka = – \frac{1}{3} \Leftrightarrow ka = \frac{1}{9} \Rightarrow g\left( x \right) = \frac{1}{3}\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)$.Phương trình hoành độ giao điểm:$f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x – 1 = \frac{1}{3}\left( {{x^2} – 4x + 3} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{5 – \sqrt {13} }}{2};x = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}.$Vậy diện tích cần tính cần tính là:$S = – \int\limits_0^{\frac{{5 – \sqrt {13} }}{2}} {\left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right)} dx = – \int\limits_0^{\frac{{5 – \sqrt {13} }}{2}} {\left( {\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x – 1 – \frac{1}{3}\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)} \right)} dx = \frac{{89 – 13\sqrt {13} }}{{72}} \approx 0,5851$

Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Xem thêm đầy đủ hơn Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11 tại: https://tusach.vn/tai-lieu-hoc-tap/trai-nghiem/de-luyen-thi-tn-thpt-2023-mon-toan-online-de-11

Đề Kiểm Tra: Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Các lựa chọn đã được chọn:

Đáp án: Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Trắc Nghiệm Liên Quan

Đề Luyện Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 10

Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 8

Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 7

Đề Ôn Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 6

Đề Ôn Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 12

Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 13

Đề Ôn Thi TN THPT Năm 2023 Toán Online-Đề 14

Đề Kiểm Tra Giữa Học Kì 1 Môn Toán 12 Online-Đề 1

Đề Kiểm Tra Giữa Học Kì 1 Toán 12 Online-Đề 2