Đề Thi Thử Tốt Nghiệp Online Môn Toán 2026 Có Lời Giải-Đề 18

Chọn D
Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{gathered}
x = {x_0} + at \hfill \\
y = {y_0} + bt \hfill \\
z = {z_0} + ct \hfill \\
\end{gathered} \right.\;\;(t \in \mathbb{R})\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {a;\,\,b;\,\,c} \right).\)
Vậy đường thẳng \(d\) có phương trình \(\left\{ \begin{gathered}
x = 1 + 2t \hfill \\
y = – 1 – 3t \hfill \\
z = 5t \hfill \\
\end{gathered} \right.\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {2;\,\, – 3;\,\,5} \right).\)

Chọn D
Ta có \({\log _5}x > 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered}
x > 0 \hfill \\
x > {5^2} \hfill \\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x > 25.\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(S = \left( {25;\,\, + \infty } \right).\)

Chọn C

Theo giả thiết ta có:
\(\left\{ \begin{gathered}
SA \bot \left( {ABCD} \right) \hfill \\
AB \bot AD \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
SA \bot AB \hfill \\
AB \bot AD \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SAD} \right)\)

Chọn D
Theo bài ra ta có công sai của cấp số cộng là: \(d = {u_4} – {u_3} = 7 – 3 = 4\)

Chọn C
Theo quy tắc 3 điểm đổi với phép toán trừ ta có: \(\overrightarrow {GD} – \overrightarrow {GA} = \overrightarrow {AD} .\)
Vì \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 .\)
Ta lại có:
\(\begin{gathered}
\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {DG} + \overrightarrow {GC} \hfill \\
= 3\overrightarrow {DG} + (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) = 3\overrightarrow {DG} . \hfill \\
\end{gathered} \)

Chọn A
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \(V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}(x)dx} \)
Ta có: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}dx} = \frac{\pi }{5}\).

Chọn D
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{{3x + 4}}{{x – 1}} = 3\)\( \Rightarrow \)Tiệm cận ngang của hàm sô là \(y = 3\).

Chọn D
Mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\) có tâm \(I\left( {0\,;\,2\,;\, – 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \).
Vậy đường kính của \(\left( S \right)\) bằng \(2\sqrt 6 \).

Chọn D
Ta có: \(\int {\sin x\,{\text{d}}x} = – \cos x + C\).

Chọn B
\(\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi .{\text{ }}(k \in \mathbb{Z})\)

Chọn B
Khoảng biến thiên chiều cao của lớp 12A là \({\Delta _A} = 180 – 150 = 30\)
Khoảng biến thiên chiều cao của lớp 12B là \({\Delta _B} = 185 – 160 = 25\)
Vậy \({\Delta _A} = {\Delta _B} + 5.\)

Chọn A
Nhìn vào đồ thị hàm số đã cho, ta thấy hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên các khoảng \(\left( { – 1\,;\,0} \right)\) và \(\left( {2\,;\, + \infty } \right)\).

a) Sai.
Ta có: \(f’\left( x \right) = 1 – {e^x}\). Xét phương trình: \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 – {e^x} = 0 \Leftrightarrow {e^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\).
Ta có: \(f\left( { – 2} \right) = – 2 – {e^{ – 2}} = – 2 – \frac{1}{{{e^2}}}\); \(f\left( 2 \right) = 2 – {e^2}\); \(f\left( 0 \right) = – 1\).
Vậy \(\mathop {Max}\limits_{\left[ { – 2;2} \right]} f\left( x \right) = – 1\) khi \(x = 0\).
b) Đúng.
Ta có: \(f\left( 1 \right) = 1 – {e^1} = 1 – e < 0\).
c) Sai.
Ta có: \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1 – {e^x} = 0 \Leftrightarrow {e^x} = 1 \Leftrightarrow x = 0\)
d) Đúng.
Ta có: \(f’\left( x \right) = 1 – {e^x}\).

a) Sai.
Đổi 10 phút = \(\frac{1}{6}\) giờ.
Quãng đường xe mô tô đi được sau 10 phút là: \(50\cdot \frac{1}{6}=\frac{25}{3}\) km.

a) Đúng.
Xét \(\overrightarrow{IA}=\left(6;-12;6\right)\Rightarrow IA=6\sqrt{6}>R=2\sqrt{6}\). Khi đó điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu \(\left(S\right)\).

a) Đúng.
Gọi A: “Sản phẩm lấy ra do phân xưởng A sản xuất”;
B: “Sản phẩm lấy ra do phân xưởng B sản xuất”.
Theo giả thiết, ta có \(P\left( A \right) = 0,55;\,\,P\left( B \right) = 0,45\).
b) Sai.
Gọi T: “Sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt”.
Theo giả thiết, ta có \(P\left( {T|A} \right) = 0,9;\,\,P\left( {T|B} \right) = 0,95\).
Biết rằng sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt, xác suất sản phẩm đó do phân xưởng A sản xuất là xác suất có điều kiện \(P\left( {A|T} \right)\).
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
\(\begin{gathered}
P\left( T \right) & = P\left( {T|A} \right).P\left( A \right) + P\left( {T|B} \right).P\left( B \right) \hfill \\
& = 0,9\,.\,0,55 + 0,95\,.\,0,45 \hfill \\
& = 0,9225 \hfill \\
\end{gathered} \)
Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {A|T} \right) = \frac{{P\left( {T|A} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( T \right)}} = \frac{{0,9\,.\,0,55}}{{0,9225}} = \frac{{22}}{{41}} < 0,55\).
c) Sai.
Biết rằng sản phẩm lấy ra là phế phẩm, xác suất sản phẩm đó do phân xưởng B sản xuất là xác suất có điều kiện \(P\left( {B|\overline T } \right)\).
Ta có: \(P\left( {\overline T } \right) = 1 – P\left( T \right) = 0,0775\) và \(P\left( {\overline T |B} \right) = 1 – P\left( {T|B} \right) = 0,05\)
Theo công thức Bayes, ta có: \(P\left( {B|\overline T } \right) = \frac{{P\left( {\overline T |B} \right).P\left( B \right)}}{{P\left( {\overline T } \right)}} = \frac{{0,05\,.\,0,45}}{{0,0775}} = \frac{9}{{31}} > 0,25\).
d) Đúng.
Xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt và là sản phẩm do phân xưởng A sản xuất, chính là xác suất của biến cố giao \(P\left( {T \cap A} \right) = P\left( {T|A} \right).P\left( A \right) = 0,9\,.\,0,55 = 0,495\).
Do đó, số sản phẩm tốt do phân xưởng A sản xuất là \(16\,\,800\,.\,0,495 = 8\,\,316\)(sản phẩm).
Tương tự, ta có \(P\left( {T \cap B} \right) = P\left( {T|B} \right).P\left( B \right) = 0,95\,.\,0,45 = 0,4275\), và số sản phẩm tốt do phân xưởng B sản xuất là \(1\,6\,\,800\,.\,0,4275 = 7\,\,182\)(sản phẩm).
Vậy số sản phẩm tốt do phân xưởng A sản xuất nhiều hơn số sản phẩm tốt do phân xưởng B sản xuất là \(8\,\,316 – 7\,\,182 = 1\,\,134\)(sản phẩm).

Trả lời: \(27\).Cách 1.
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) xuống mặt đất. Khi đó góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời \(AC\) và mặt đất chính là góc \(\widehat {ACH}\).

Ta có tấm liếp tre \(AB = 3\) m và tạo với mặt đất góc \({60^\circ }\), nên trong tam giác vuông \(ABH\):
\(AH = AB \cdot \sin {60^\circ } = 3 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\) m.
\(BH = AB \cdot \cos {60^\circ } = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1,5\) m.
Vì \(BC\) nằm trên mặt đất và \(\widehat {ABC} = {120^\circ }\), nên hình chiếu của \(BA\) xuống mặt đất là \(BH\) nằm ngược hướng với \(BC\).
Do đó \(H,B,C\) thẳng hàng và \(B\) nằm giữa \(H\) và \(C\).
Suy ra: \(CH = BH + BC = 1,5 + 3,6 = 5,1\) m.
Xét tam giác vuông \(ACH\), gọi \(\alpha \) là góc giữa tia sáng \(AC\) và mặt đất. Khi đó:
\(\tan \alpha = \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{\frac{{3\sqrt 3 }}{2}}}{{5,1}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{10,2}} \approx 0,5094\).
Suy ra: \(\alpha \approx \arctan 0,5094 \approx {27^\circ }\).
Vậy góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm đó xấp xỉ \({27^\circ }\).

Trả lời: \(42,5\)
Gọi số sản phẩm A và số sản phẩm B phân xưởng cần sản xuất trong mỗi tuần lần lượt là \(x\) và \(y\) \(\left( {x,y \geqslant 0} \right)\).
Số tiền lãi trong một tuần phân xưởng thu được từ việc sản xuất \(x\) tấn sản phẩm A và \(y\) tấn sản phẩm B là \(L\left( {x,y} \right) = 2x + 1,5y\) triệu đồng.
Thời gian máy I phải làm việc để sản xuất \(x\) sản phẩm A và \(y\) sản phẩm B là \(x + 2y\) giờ.
Thời gian máy II phải làm việc để sản xuất \(x\) sản phẩm A và \(y\) sản phẩm B là \(3x + 2y\) giờ.
Theo bài ra ta có \(\left\{ \begin{gathered}
x \geqslant 0 \hfill \\
y \geqslant 0 \hfill \\
x + 2y \leqslant 40 \hfill \\
3x + 2y \leqslant 60 \hfill \\
\end{gathered} \right.\) (I)
Bài toán trở thành tìm \(x,\,\,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình (I) để hàm số \(L\left( {x,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Biểu diễn miền nghiệm của hệ (I) ta được:

Miền nghiệm của hệ (I) là miền tứ giác \(OCDE\) với \(O\left( {0;0} \right),\,\,C\left( {0;20} \right),\,\,D\left( {10;15} \right),\,E\left( {20;0} \right)\).
Hàm số \(L\left( {x,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại một trong các điểm \(O,D,E,C\).
Ta có:
\(\begin{gathered}
L\left( {0,0} \right) = 2.0 + 1,5.0 = 0;\,\,L\left( {20,0} \right) = 2.20 + 1,5.0 = 40;\,\,L\left( {10,15} \right) = 2.10 + 1,5.15 = 42,5;\, \hfill \\
\,L\left( {0,20} \right) = 2.0 + 1,5.20 = 30. \hfill \\
\end{gathered} \)
\(L\left( {x,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất là \(42,5\) tại \(D\left( {10;15} \right)\).
Vậy tiền lãi lớn nhất mà phân xưởng đó có thể thu được trong một tuần là \(42,5\) triệu đồng

Trả lời: 43,9
Ta có \(y’ = \frac{{{x^2} – 4x – 2a – b}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\). Vì \(\left( {1\,;\,\,1} \right)\) là điểm cực trị của đồ thị hàm số nên \(\left\{ \begin{gathered}
y\left( 1 \right) = 1 \hfill \\
y’\left( 1 \right) = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
\frac{{1 + a + b}}{{1 – 2}} = 1 \hfill \\
{1^2} – 4 \cdot 1 – 2a – b = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
a + b = – 2 \hfill \\
2a + b = – 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
a = – 1 \hfill \\
b = – 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.\).
Hàm số trở thành \(y = \frac{{{x^2} – x – 1}}{{x – 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x – 2}},\,\,\,x \ne 2\).
Gọi \(A\left( {2 + a\,;\,\,3 + a + \frac{1}{a}} \right)\,,\,\,B\left( {2 – b\,;\,\,3 – b – \frac{1}{b}} \right)\) là hai điểm thuộc hai nhánh đồ thị với \(a\,,\,\,b > 0\). Ta có: \(A{B^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {a + b + \frac{{a + b}}{{ab}}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\left[ {1 + {{\left( {1 + \frac{1}{{ab}}} \right)}^2}} \right]\)
\( = {\left( {a + b} \right)^2}\left( {2 + \frac{2}{{ab}} + \frac{1}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\mathop \geqslant \limits^{AM – GM} 4ab\left( {2 + \frac{2}{{ab}} + \frac{1}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\)\( = 8 + 8ab + \frac{4}{{ab}}\mathop \geqslant \limits^{AM – GM} 8 + 8\sqrt 2 \).
Độ dài ngắn nhất của cây cầu (theo đường chim bay) là \(AB \times 10 = \sqrt {8 + 8\sqrt 2 } \times 10 \approx \boxed{43,9}\,\,m\).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\) và \(8ab = \frac{4}{{ab}} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}}\).

Trả lời: 253
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi 2 đường cong AB, CD là:
\(\int\limits_{ – 2}^7 {\left( {\frac{1}{4}x + 1} \right)dx} = \frac{{117}}{8}\).
Vì đơn vị trên mỗi trục là \(10m\)nên diện tích phần đổ bê tông thực tế là:
\(\frac{{117}}{8}.100 = \frac{{2925}}{2}\left( {{m^2}} \right)\).
Thể tích của bê tông để đổ con đương đó là:
\(0,16.\frac{{2925}}{2} = 234\left( {{m^3}} \right)\).
Số tiền cần dùng để đổ bê tông là:
\(1080000.234 = 252720000 \approx 253\)(triệu đồng).

Trả lời: \(2,56\)

Tấm \(\left( R \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\), \(\left( {{S_2}} \right)\) lần lượt tại \(N,M\).
Ta có \(IJ \cap \left( R \right) = \left\{ S \right\}\).
\(JM = 2;IN = 4,JM//IN\) suy ra \(\frac{{SJ}}{{SI}} = \frac{{JM}}{{IN}} = \frac{1}{2} \Rightarrow J\) là trung điểm của \(SI\).
\(I\left( {2;1;1} \right)\) và \(J\left( {2;1;5} \right)\) suy ra \(S\left( {2;1;9} \right)\).
Ta lại có \(\overrightarrow {OI} = \left( {2;1;1} \right) \Rightarrow OI = \sqrt 6 < 4\), \(\overrightarrow {OJ} = \left( {2;1;5} \right) \Rightarrow OJ = \sqrt {30} > 2\) nên gốc tọa độ \(O\) nằm trong mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) và ngoài mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\).
\(\overrightarrow {IJ} = \left( {0;0;4} \right)\) suy ra \(IJ \bot \left( {Oxy} \right)\), \(IJ \cap \left( {Oxy} \right) = K\left( {2;1;0} \right)\), \(OK = \sqrt 5 \).
\(d\left( {O,\left( R \right)} \right) = OT\), \(O{T_{\min }} \Leftrightarrow T \in \left( {SOK} \right)\).
Dễ thấy \(\widehat {MSK} = 30^\circ ,\widehat {TPK} = 60^\circ ,\)\(SK = 9\), \(\tan 60^\circ = \frac{{SK}}{{PK}} \Rightarrow PK = \frac{9}{{\sqrt 3 }}\)\( \Rightarrow OP = \frac{9}{{\sqrt 3 }} – \sqrt 5 \).
Vậy \(\sin 60^\circ = \frac{{OT}}{{PO}} \Rightarrow OT = \frac{{9 – \sqrt {15} }}{2} \approx 2,56\).

Đáp án: 50,4.
\(x+y+z+a+b+c+d+e+f=45\)
Đặt \(T=x+y+e+f=x+c+d+z=y+a+b+z\).
\(\Rightarrow 2(x+y+z)+a+b+c+d+e+f=3T\).
Mà \(x+y+z+a+b+c+d+e+f=45\).
\(\Rightarrow x+y+z=3T-45\).
\(\Rightarrow x+y+z\in \left\{ 6;9;12;\ldots;24 \right\}\).
\(\Rightarrow T\in \left\{ 17;18;\ldots;23 \right\}\).
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{l} e+f=T-\left(x+y\right)\\ c+d=T-\left(x+z\right)\\ a+b=T-\left(y+z\right) \end{array}} \right.\)
Có \(3!\) hoán vị \(\left(x;y;z\right)\).
Có \(2!\) hoán vị mỗi cặp \(\left(e;f\right)\), \(\left(c;d\right)\), \(\left(a;b\right)\).
\(\Rightarrow\) Mỗi bộ có \(2\cdot 2\cdot 2\cdot 3!=48\) cách.